Análisis matemático (2.ª ed.)

En la formación básica del estudiante del grado de Matemáticas es importante el lenguaje en el que se expresa de manera precisa un problema. Las Matemáticas no pueden ser entendidas solo como un conjunto de herramientas. Aprender a utilizarlas con corrección y asimilar sus estructuras y conceptos fundamentales, ayudan al estudiante a desarrollar las capacidades lógicas, de abstracción y de demostración. El estudio del Análisis Matemático es básico para una robusta formación matemática. Esta parte de las Matemáticas está presente en la formación educativa desde los inicios de la Enseñanza Secundaria de cualquier persona, hasta su actuación en el ámbito profesional. Sirve de herramienta para la resolución del problema modelo de una situación real. Las Matemáticas a nivel universitario no pueden ser entendidas sin referencia continua a la modelización básica que hace el Cálculo Matemático de los problemas del mundo científico y tecnológico. Aunque no siempre se resuelven de forma exacta esos problemas, al menos se aproxima a una posible solución. El Cálculo se inicia sobre un elemento difícil de entender: el número real. Calcular o descubrir un cierto número, incógnita, del cual solo se sabe que cumple ciertas propiedades puede ser importante, pero saber cómo varía ese número en relación a la variación de las condiciones introduce la noción de variable y el concepto de función, el conjunto de números donde todo es coherente es el de los números reales. Objetivos: Para desarrollar los contenidos de este libro, hemos tenido muy presentes los objetivos que se querían conseguir. Hemos querido que el estudiante adquiera ciertas habilidades en los significados matemáticos y sus expresiones conjuntas a una situación visual, se familiarice con el rigor matemático y los procesos deductivos del Análisis. Sobre todo, hemos querido que el estudiante sepa en cada momento lo que hace en su estudio y le proponemos que imite inicialmente lo que se hace en situaciones ejemplares, por ello se le propone inmediatamente una práctica después de cada ejemplo o ejercicio. En esta materia conviene hacer para poder entender, pues entender no es fácil. Hemos pensado en un estudiante aislado de un grupo de compañeros, que estudia solo y que tiene que adquirir las nociones básicas y saber utilizarlas. Tratamos que el lector pueda leer y entender enunciados y que establezca relaciones entre los diferentes enunciados. Que pueda establecer resoluciones y demostraciones por similitud con las formas de resolución de los ejemplos y ejercicios. En este sentido una demostración no es más que la resolución de un problema genérico. Esto nos ha hecho presentar algunas demostraciones de propiedades y teoremas como ejercicio resuelto en la sección correspondiente en cada capítulo. Así pues, no se trata de un libro sin demostraciones, sino un libro donde los resultados no son más que situaciones generales de otras tantas prácticas concretas. Nuestra intención es presentar al estudiante una serie de retos teóricos (sin números concretos) y retos prácticos (con números y expresiones concretas) para que el estudiante entienda que los resultados teóricos son fruto de la resolución de algún problema. De esta manera cada uno de los ejercicios resueltos se incorporan al mínimo de resultados presentados claramente como teoría. Esta materia debe aprenderse acumulando la base de conocimiento expuesta tanto definici...