Integración en variedades

A lo largo del tiempo, el cálculo diferencial e integral se ha establecido como uno de los campos más importantes de las matemáticas modernas. Por un lado, desde un punto de vista intuitivo, el cálculo diferencial se enfoca en entender cómo cambian ciertas cantidades en relación con otras. Por ejemplo, la pendiente de una montaña mide cuán rápido cambia la altura a medida que recorres la distancia. El cálculo diferencial nos permite no solo medir estos cambios, sino también entender y predecir el comportamiento de funciones y fenómenos en la naturaleza, como el movimiento de un objeto o el crecimiento de una población.
El cálculo integral, en contraposición al diferencial, se ocupa de la acumulación de cantidades. En términos generales, puede interpretarse la integral definida como una suma infinita de áreas infinitesimales. Por ejemplo, si se considera la gráfica de una función real y positiva, la integral sobre un intervalo representa el área encerrada bajo dicha curva. Esta noción resulta particularmente útil cuando se desea cuantificar una magnitud que varía de manera continua, como ocurre con el volumen de agua recogido en un recipiente alimentado por un caudal cuya velocidad de flujo no es constante.
Una de las ideas más profundas del cálculo es la estrecha relación entre la derivación y la integración. Los teoremas fundamentales del cálculo establecen que, bajo condiciones adecuadas, estas dos operaciones son inversas entre sí. Más precisamente, derivar una función definida como una integral devuelve, casi siempre, la función original; e integrar una derivada permite recuperar (hasta una constante aditiva) la función primitiva.
Este libro aborda una extensión natural y necesaria del cálculo diferencial e integral en una o varias variables. Mientras que el cálculo clásico se desarrolla en espacios euclídeos (planos, coordenadas globales y sin curvatura), muchos espacios de interés tanto en matemáticas como en sus aplicaciones físicas no poseen estas características. Superficies como la esfera o el toro, por ejemplo, no admiten un sistema de coordenadas global válido en todo el dominio, y presentan estructuras geométricas más ricas. Para tratar con estos espacios no euclídeos se requieren herramientas más generales, capaces de describir su comportamiento local y, al mismo tiempo, de articular cómo estas descripciones locales se ensamblan en una estructura global coherente
El concepto central con el que trabajaremos a lo largo de este libro, y que permite abordar rigurosamente los espacios no euclídeos mencionados anteriormente, es el de variedad diferenciable. Este tipo de espacios, aunque globalmente puedan presentar geometría curva, topología compleja o ausencia de coordenadas globales, poseen una estructura local que se asemeja a la del espacio euclídeo. De forma intuitiva, una variedad diferenciable puede pensarse como una figura geométrica suave, es decir, sin aristas ni discontinuidades, que se construye pegando parches locales, cada uno de los cuales se puede entender como una deformación diferenciable subconjunto abierto de Rn. A estos parches se les asignan coordenadas locales, y el conjunto de todos ellos, junto con las funciones de cambio de coordenadas que conectan las regiones donde se solapan, conforma lo que se denomina un atlas diferenciable.
Esta estructura nos permite extender conceptos fundamentales del cálculo (como la derivada y la integral) a espaci...