Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I

Cet ouvrage est une introduction élémentaire à la théorie des équations différentielles. Il est destiné à illustrer un cours classique sur les équations différentielles dans le cadre dune licence de mathématiques, mais il peut également servir dinitiation aux notions de base indispensables aux applications.Une première partie est consacrée à des pré- requis de calcul différentiel et de topologie différentielle : définition des termes et notions de base utilisées par la suite, concernant aussi bien le calcul différentiel dans un espace euclidien que la topologie différentielle.La deuxième partie est la matière dun cours classique sur les équations différentielles. Les champs linéaires et les propriétés générales des trajectoires sont donc évidemment exposés. Mais, dans la tradition initiée par Henri Poincaré, on insiste aussi sur les aspects qualitatifs du comportement des solutions, avec lintroduction de la notion de flot dun champ de vecteurs, qui joue un rôle fondamental car elle sert de base à létude essentielle des propriétés de récurrence et de stabilité des orbites. La notion dapplication de Poincaré dune orbite périodique est développée et quelques résultats importants de la théorie qualitative sont démontrés.Les lecteurs trouveront un développement de cet ouvrage dans le tome II, publié dans la même collection (Vers la théorie des systèmes dynamiques).Robert Roussarie, ancien élève de lÉcole Polytechnique, a soutenu une thèse en mathématiques sur la théorie des feuilletages. Il a été chercheur au CNRS puis professeur à lUniversité de Bourgogne. Il est un spécialiste des équations différentielles (bifurcations des champs de vecteurs du plan, 16e problème de Hilbert, systèmes lents-rapides en dimension 2).Jean Roux a soutenu une thèse en mathématiques à lUniversité de Paris. Il a été ingénieur-chercheur aux Études et Recherches de lEDF et maître de conférences en analyse numérique aux Ponts et Chaussées. Il est actuellement enseignant en mathématiques appliquées au département Géosciences de lENS.